Номер 97, страница 31 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 1. Первый признак равенства треугольников - номер 97, страница 31.

Условие.

97 Отрезки $AC$ и $BD$ точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $O$ — точка пересечения отрезков $AC$ и $BD$. Согласно условию задачи, эта точка делит указанные отрезки пополам. Это означает, что выполняются следующие равенства: $AO = OC$ и $BO = OD$.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ мы будем использовать третий признак равенства треугольников (по трем сторонам). Для этого нам необходимо показать, что три стороны треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle CDA$.

Сначала рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, которые образованы пересечением отрезков $AC$ и $BD$.
1. $AO = OC$ (по условию).
2. $BO = OD$ (по условию).
3. $\angle AOB = \angle COD$ (так как эти углы являются вертикальными).
Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AB = CD$.

Теперь аналогично рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.
1. $BO = OD$ (по условию).
2. $OC = AO$ (по условию).
3. $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные углы).
Следовательно, $\triangle BOC = \triangle DOA$ по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что $BC = DA$.

Теперь мы можем сравнить стороны треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.
1. $AB = CD$ (как было доказано из равенства $\triangle AOB$ и $\triangle COD$).
2. $BC = DA$ (как было доказано из равенства $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$).
3. $AC$ — общая сторона для обоих треугольников.
Таким образом, все три стороны треугольника $\triangle ABC$ равны соответствующим трем сторонам треугольника $\triangle CDA$.

На основании третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам) мы можем утверждать, что $\triangle ABC = \triangle CDA$.
Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ доказано.