Номер 86, страница 27 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 86, страница 27.

Условие.

86 Даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ и точка $A$, не лежащая на этих прямых. Через точку $A$ проведены прямые $m$ и $n$ так, что $m \perp a$, $n \perp b$. Докажите, что прямые $m$ и $n$ не совпадают.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

1. Прямые $a$ и $b$ пересекаются ($a \cap b \neq \emptyset$).

2. Точка $A$ не принадлежит ни прямой $a$, ни прямой $b$ ($A \notin a$, $A \notin b$).

3. Прямая $m$ проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $a$ ($A \in m$, $m \perp a$).

4. Прямая $n$ проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $b$ ($A \in n$, $n \perp b$).

Доказать:

Прямые $m$ и $n$ не совпадают ($m \neq n$).

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямые $m$ и $n$ совпадают. Обозначим эту единую прямую как $p$. То есть, $m = n = p$.

Из нашего предположения и условий задачи следует:

1. Так как $p$ совпадает с $m$, а по условию $m \perp a$, то и прямая $p$ перпендикулярна прямой $a$ ($p \perp a$).

2. Так как $p$ совпадает с $n$, а по условию $n \perp b$, то и прямая $p$ перпендикулярна прямой $b$ ($p \perp b$).

Таким образом, мы получили, что одна и та же прямая $p$ перпендикулярна двум различным прямым $a$ и $b$.

Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны друг другу. В нашем случае из того, что $a \perp p$ и $b \perp p$, следует, что прямые $a$ и $b$ должны быть параллельны ($a \parallel b$).

Однако это противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $m$ и $n$ не могут совпадать.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые $m$ и $n$ не совпадают. Если бы они совпадали, то образовывали бы одну прямую, перпендикулярную двум пересекающимся прямым $a$ и $b$. Это привело бы к выводу, что прямые $a$ и $b$ параллельны, что противоречит условию задачи.