Номер 84, страница 27 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 84, страница 27.

Условие.

84 Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть две прямые пересекаются в точке $O$. При этом образуются две пары вертикальных углов. Рассмотрим одну пару таких углов: $\angle AOC$ и $\angle BOD$. Проведем биссектрисы этих углов: луч $OE$ — биссектриса угла $\angle AOC$, а луч $OF$ — биссектриса угла $\angle BOD$. Нам необходимо доказать, что лучи $OE$ и $OF$ лежат на одной прямой.

Чтобы доказать, что лучи $OE$ и $OF$ лежат на одной прямой, достаточно показать, что угол $\angle EOF$ является развернутым, то есть его градусная мера равна $180^\circ$.

Рассмотрим угол $\angle EOF$. Он состоит из трех смежных углов: $\angle EOC$, $\angle COB$ и $\angle BOF$. Таким образом, мы можем записать:
$\angle EOF = \angle EOC + \angle COB + \angle BOF$

По определению биссектрисы угла, луч $OE$ делит угол $\angle AOC$ на два равных угла, поэтому $\angle EOC = \frac{1}{2} \angle AOC$. Аналогично, луч $OF$ является биссектрисой угла $\angle BOD$, поэтому $\angle BOF = \frac{1}{2} \angle BOD$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ являются вертикальными, а по свойству вертикальных углов они равны: $\angle AOC = \angle BOD$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ являются смежными, так как их стороны $OA$ и $OB$ являются дополнительными лучами (образуют прямую). Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно:
$\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$

Теперь подставим известные нам соотношения в выражение для угла $\angle EOF$:
$\angle EOF = \frac{1}{2} \angle AOC + \angle COB + \frac{1}{2} \angle BOD$

Так как $\angle AOC = \angle BOD$, мы можем заменить $\angle BOD$ на $\angle AOC$ в этом выражении:
$\angle EOF = \frac{1}{2} \angle AOC + \angle COB + \frac{1}{2} \angle AOC$

Сгруппируем слагаемые и упростим:
$\angle EOF = (\frac{1}{2} \angle AOC + \frac{1}{2} \angle AOC) + \angle COB = \angle AOC + \angle COB$

Мы уже установили, что сумма смежных углов $\angle AOC$ и $\angle COB$ равна $180^\circ$. Следовательно:
$\angle EOF = 180^\circ$

Поскольку угол $\angle EOF$ равен $180^\circ$, он является развернутым, а это означает, что его стороны, лучи $OE$ и $OF$, лежат на одной прямой. Таким образом, биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.