Номер 79, страница 26 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 79, страница 26.

Условие.

79* □ Точки A, B и C лежат на одной прямой, точки M и N – середины отрезков AB и AC. Докажите, что $BC = 2MN$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данного утверждения необходимо рассмотреть все возможные случаи взаимного расположения точек A, B и C на прямой, так как их порядок в условии не задан. Длину отрезка между точками X и Y будем обозначать как XY.

По условию, M — середина отрезка AB, следовательно, $AM = MB = \frac{1}{2}AB$.

Также по условию, N — середина отрезка AC, следовательно, $AN = NC = \frac{1}{2}AC$.

Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: Точка B лежит между точками A и C.

В этом случае точки на прямой располагаются в последовательности A, B, C. Тогда длина отрезка BC равна разности длин отрезков AC и AB: $BC = AC - AB$.

Поскольку $AB < AC$, то и $\frac{1}{2}AB < \frac{1}{2}AC$, что означает $AM < AN$. Следовательно, точка M лежит между A и N. Тогда длина отрезка MN равна разности длин отрезков AN и AM: $MN = AN - AM$.

Подставим значения для AN и AM, исходя из того, что N и M — середины отрезков:

$MN = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AC - AB)$

Так как $BC = AC - AB$, то мы можем подставить BC в полученное выражение:

$MN = \frac{1}{2}BC$

Отсюда следует, что $BC = 2MN$. Утверждение для данного случая доказано.

Ответ: $BC = 2MN$.

Случай 2: Точка C лежит между точками A и B.

В этом случае точки на прямой располагаются в последовательности A, C, B. Тогда длина отрезка BC равна разности длин отрезков AB и AC: $BC = AB - AC$.

Поскольку $AC < AB$, то и $\frac{1}{2}AC < \frac{1}{2}AB$, что означает $AN < AM$. Следовательно, точка N лежит между A и M. Тогда длина отрезка MN равна разности длин отрезков AM и AN: $MN = AM - AN$.

Подставим значения для AM и AN:

$MN = \frac{1}{2}AB - \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(AB - AC)$

Так как $BC = AB - AC$, то получаем:

$MN = \frac{1}{2}BC$

Отсюда следует, что $BC = 2MN$. Утверждение для данного случая доказано.

Ответ: $BC = 2MN$.

Случай 3: Точка A лежит между точками B и C.

В этом случае точки на прямой могут располагаться в последовательности B, A, C. Тогда длина отрезка BC равна сумме длин отрезков BA и AC: $BC = BA + AC$. Поскольку длина отрезка не зависит от порядка точек, $BA = AB$, и $BC = AB + AC$.

Точка M, середина AB, лежит между B и A. Точка N, середина AC, лежит между A и C. Следовательно, точка A лежит между M и N. Тогда длина отрезка MN равна сумме длин отрезков MA и AN: $MN = MA + AN$. Так как $MA = AM$, то $MN = AM + AN$.

Подставим значения для AM и AN:

$MN = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(AB + AC)$

Так как $BC = AB + AC$, то получаем:

$MN = \frac{1}{2}BC$

Отсюда следует, что $BC = 2MN$. Утверждение для данного случая доказано.

Ответ: $BC = 2MN$.

Таким образом, мы рассмотрели все три возможных варианта взаимного расположения точек A, B и C на прямой и в каждом из них доказали, что равенство $BC = 2MN$ выполняется. Что и требовалось доказать.