Номер 72, страница 26 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 72, страница 26.

Условие.

72 Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения общего количества точек пересечения необходимо определить, сколько уникальных пар прямых можно составить из четырех данных прямых. Условия задачи ("каждые две из которых пересекаются" и "через каждую точку пересечения проходят только две прямые") гарантируют, что каждая возможная пара прямых образует ровно одну уникальную точку пересечения.

Таким образом, задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2. Мы ищем количество способов выбрать 2 прямые из 4 для образования точки пересечения. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее число прямых $n=4$, а для образования одной точки пересечения нужны $k=2$ прямые. Подставляем эти значения в формулу:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Другой способ рассуждения:
Первая прямая пересекается с тремя другими, что дает 3 точки.
Вторая прямая пересекается с оставшимися двумя (ее пересечение с первой уже учтено), что дает еще 2 новые точки.
Третья прямая пересекается с последней, четвертой прямой, что дает еще 1 новую точку.
Общее количество точек пересечения равно сумме: $3 + 2 + 1 = 6$.

Ответ: 6