Номер 76, страница 26 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 76, страница 26.

Условие.

76 Отрезок $AB$ длины $a$ разделён точками $P$ и $Q$ на три отрезка $AP, PQ$ и $QB$ так, что $AP = 2PQ = 2QB$. Найдите расстояние между:

а) точкой $A$ и серединой отрезка $QB$;

б) серединами отрезков $AP$ и $QB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи, отрезок AB длины $a$ разделен на три отрезка AP, PQ и QB. Их длины связаны соотношением $AP = 2PQ = 2QB$.

Из этого равенства следует:

• $AP = 2QB$
• $2PQ = 2QB$, что означает $PQ = QB$

Пусть длина отрезка QB равна $x$. Тогда $QB = x$, $PQ = x$ и $AP = 2x$.

Сумма длин этих отрезков равна длине всего отрезка AB:

$AP + PQ + QB = a$

$2x + x + x = a$

$4x = a$

$x = \frac{a}{4}$

Теперь мы можем найти длины каждого из трех отрезков:

• $QB = x = \frac{a}{4}$
• $PQ = x = \frac{a}{4}$
• $AP = 2x = 2 \cdot \frac{a}{4} = \frac{a}{2}$

Теперь решим подпункты задачи.

а) Нужно найти расстояние между точкой А и серединой отрезка QB. Обозначим середину отрезка QB как точку M. Расстояние, которое нужно найти, — это длина отрезка AM.

Длина отрезка AM складывается из длин отрезков AP, PQ и QM:

$AM = AP + PQ + QM$

Точка M является серединой отрезка QB, поэтому длина QM равна половине длины QB:

$QM = \frac{1}{2} QB = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} = \frac{a}{8}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для AM:

$AM = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$AM = \frac{4a}{8} + \frac{2a}{8} + \frac{a}{8} = \frac{4a + 2a + a}{8} = \frac{7a}{8}$

Ответ: $\frac{7a}{8}$

б) Нужно найти расстояние между серединами отрезков AP и QB. Обозначим середину отрезка AP как точку N, а середину отрезка QB — как точку M. Расстояние, которое нужно найти, — это длина отрезка NM.

Длина отрезка NM складывается из длин отрезков NP, PQ и QM:

$NM = NP + PQ + QM$

Точка N является серединой отрезка AP, поэтому длина NP равна половине длины AP:

$NP = \frac{1}{2} AP = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{4}$

Длину QM мы уже нашли в предыдущем пункте: $QM = \frac{a}{8}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу для NM:

$NM = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$NM = \frac{2a}{8} + \frac{2a}{8} + \frac{a}{8} = \frac{2a + 2a + a}{8} = \frac{5a}{8}$

Ответ: $\frac{5a}{8}$