Номер 20, страница 26 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Вопросы к главе 1 - номер 20, страница 26.

Условие.

20 Объясните, почему две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Это утверждение является свойством параллельных прямых в евклидовой геометрии и его можно доказать, используя признаки параллельности прямых.

Рассмотрим две прямые, назовем их a и b, и третью прямую, c. По условию задачи, обе прямые a и b перпендикулярны прямой c. В виде формул это записывается так: $a \perp c$ и $b \perp c$.

Прямую c, которая пересекает прямые a и b, можно рассматривать как секущую по отношению к этим двум прямым.

По определению перпендикулярности, при пересечении прямой a с прямой c образуются прямые углы, то есть углы величиной $90^\circ$. Аналогично, при пересечении прямой b с прямой c все образовавшиеся углы также равны $90^\circ$.

Теперь сравним углы, которые образуются при пересечении прямых a и b секущей c. Выберем пару соответственных углов. Пусть $∠1$ — это один из углов, образованный пересечением прямых a и c, а $∠2$ — соответственный ему угол, образованный пересечением прямых b и c. Из условия перпендикулярности нам известно, что $∠1 = 90^\circ$ и $∠2 = 90^\circ$.

Таким образом, мы видим, что соответственные углы равны: $∠1 = ∠2$.

В геометрии существует признак параллельности прямых, который гласит: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

Так как в нашем случае соответственные углы равны ($90^\circ$), мы можем сделать вывод, что прямая a параллельна прямой b ($a \parallel b$).

По определению, параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и никогда не пересекаются.

Следовательно, две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются именно потому, что они параллельны друг другу.

Ответ: Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются, потому что они параллельны друг другу. Это следует из признака параллельности прямых: при пересечении этих двух прямых третьей прямой (которая является для них секущей) образуются равные соответственные углы, равные $90^\circ$. Равенство соответственных углов является достаточным условием для параллельности прямых, а параллельные прямые по определению не пересекаются.