Номер 18, страница 26 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Вопросы к главе 1 - номер 18, страница 26.

Условие.

18 Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Какие углы называются вертикальными?
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями (дополнительными полупрямыми) сторон другого. Такие углы образуются при пересечении двух прямых. При этом образуется две пары вертикальных углов. Например, если две прямые пересекаются в точке O, они образуют четыре угла. Углы, расположенные друг против друга относительно вершины O, являются вертикальными. Если мы обозначим углы как $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$ по кругу, то $\angle 1$ и $\angle 3$ будут вертикальными, а также $\angle 2$ и $\angle 4$ будут вертикальными.
Ответ: Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Каким свойством обладают вертикальные углы?
Основное свойство вертикальных углов заключается в том, что они всегда равны друг другу.
Доказательство:
Рассмотрим пару вертикальных углов, например, $\angle 1$ и $\angle 3$. Угол $\angle 2$ является смежным для каждого из них.
Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Поэтому мы можем записать два равенства:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ (как смежные)
$\angle 3 + \angle 2 = 180^\circ$ (как смежные)
Поскольку правые части этих равенств равны, то равны и левые:
$\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 2$
Вычтем из обеих частей равенства величину угла $\angle 2$:
$\angle 1 = \angle 3$
Доказательство для второй пары вертикальных углов ($\angle 2$ и $\angle 4$) аналогично. Таким образом, свойство доказано.
Ответ: Вертикальные углы равны.