Номер 73, страница 26 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 73, страница 26.

Условие.

73 Сколько неразвёрнутых углов образуется при пересечении трёх прямых, проходящих через одну точку?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

При пересечении трёх прямых в одной точке образуется 6 лучей, исходящих из этой точки (каждая прямая состоит из двух лучей, направленных в противоположные стороны).

Чтобы найти количество углов, нужно посчитать, сколько пар можно составить из этих 6 лучей. Для этого воспользуемся формулой сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ – общее количество элементов, а $k$ – количество элементов в группе.

В нашем случае $n=6$ (лучи) и $k=2$ (для образования угла нужно 2 луча).
Общее количество всех возможных углов равно:
$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

Это общее число всех углов. Однако в вопросе требуется найти количество неразвёрнутых углов. Развёрнутый угол равен $180^\circ$ и образуется двумя лучами, лежащими на одной прямой. Так как у нас 3 прямые, то они образуют ровно 3 развёрнутых угла.

Чтобы найти количество неразвёрнутых углов, нужно из общего числа углов вычесть количество развёрнутых:

$15 - 3 = 12$

Альтернативный способ рассуждения:

Возьмём любой из 6 лучей. Он образует углы с остальными 5 лучами. Среди этих 5 углов ровно один будет развёрнутым (с лучом, лежащим на той же прямой). Следовательно, каждый луч участвует в образовании $5 - 1 = 4$ неразвёрнутых углов.

Поскольку у нас 6 лучей, мы могли бы умножить $6 \times 4 = 24$. Но при таком подходе каждый угол (например, угол между лучом 1 и лучом 2) мы посчитали дважды: один раз для луча 1 и второй раз для луча 2. Поэтому полученный результат нужно разделить на 2:

$\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$

Ответ: 12