Номер 82, страница 27 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 82, страница 27.

Условие.

82 Найдите смежные углы, если:

а) один из них на $45^\circ$ больше другого;

б) их разность равна $35^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Смежные углы — это два угла, которые имеют общую вершину и одну общую сторону, а две другие их стороны являются продолжениями друг друга (образуют прямую линию). Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Пусть искомые углы равны $\alpha$ и $\beta$. Тогда для них справедливо равенство: $\alpha + \beta = 180^\circ$.

а) один из них на 45° больше другого;

Пусть угол $\alpha$ на $45^\circ$ больше угла $\beta$. Это условие можно записать в виде уравнения: $\alpha = \beta + 45^\circ$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = \beta + 45^\circ \end{array} \right.$

Подставим выражение для $\alpha$ из второго уравнения в первое:

$(\beta + 45^\circ) + \beta = 180^\circ$

Решим полученное уравнение относительно $\beta$:

$2\beta + 45^\circ = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 45^\circ$

$2\beta = 135^\circ$

$\beta = \frac{135^\circ}{2} = 67.5^\circ$

Теперь найдем величину угла $\alpha$:

$\alpha = 67.5^\circ + 45^\circ = 112.5^\circ$

Проверим, что сумма углов равна $180^\circ$: $112.5^\circ + 67.5^\circ = 180^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: $67.5^\circ$ и $112.5^\circ$.

б) их разность равна 35°;

Пусть разность углов $\alpha$ и $\beta$ равна $35^\circ$. Это условие можно записать в виде уравнения: $\alpha - \beta = 35^\circ$.

Снова получаем систему из двух уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 35^\circ \end{array} \right.$

Для решения этой системы удобно сложить оба уравнения:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 35^\circ$

$2\alpha = 215^\circ$

$\alpha = \frac{215^\circ}{2} = 107.5^\circ$

Теперь найдем величину угла $\beta$, подставив найденное значение $\alpha$ в первое уравнение:

$107.5^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 107.5^\circ = 72.5^\circ$

Проверим, что разность углов равна $35^\circ$: $107.5^\circ - 72.5^\circ = 35^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: $72.5^\circ$ и $107.5^\circ$.