Номер 85, страница 27 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 6. Перпендикулярные прямые - номер 85, страница 27.

Условие.

85* □ Докажите, что если биссектрисы углов $ABC$ и $CBD$ перпендикулярны, то точки $A$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть луч $BE$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, а луч $BF$ — биссектрисой угла $\angle CBD$.

По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Следовательно, мы имеем следующие равенства:

$\angle EBC = \frac{1}{2} \angle ABC$

$\angle CBF = \frac{1}{2} \angle CBD$

По условию задачи, биссектрисы $BE$ и $BF$ перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$:

$\angle EBF = 90^\circ$

Углы $\angle ABC$ и $\angle CBD$ имеют общую вершину $B$ и общую сторону $BC$. Луч $BC$ расположен между лучами $BA$ и $BD$. Угол $\angle EBF$ состоит из суммы углов $\angle EBC$ и $\angle CBF$. Таким образом:

$\angle EBF = \angle EBC + \angle CBF$

Подставим в это равенство известные нам выражения:

$90^\circ = \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle CBD$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$90^\circ = \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle CBD)$

Для того чтобы найти сумму углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$, умножим обе части уравнения на 2:

$180^\circ = \angle ABC + \angle CBD$

Сумма прилежащих углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$ образует угол $\angle ABD$. Следовательно:

$\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = 180^\circ$

Угол, равный $180^\circ$, называется развёрнутым. Стороны развёрнутого угла (в данном случае лучи $BA$ и $BD$) лежат на одной прямой. Это означает, что точки A, B и D лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Точки A, B и D лежат на одной прямой, так как перпендикулярность биссектрис углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$ означает, что сумма этих углов равна $180^\circ$, и, следовательно, угол $\angle ABD$ является развёрнутым.