Номер 142, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - номер 142, страница 42.

Условие.

142. Равнобедренные треугольники $ADC$ и $BCD$ имеют общее основание $DC$. Прямая $AB$ пересекает отрезок $CD$ в точке $O$. Докажите, что:

а) $\angle ADB = \angle ACB$

б) $DO = OC$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) Рассмотрим треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle ACB$.

По условию, треугольник $ADC$ равнобедренный с основанием $DC$, следовательно, боковые стороны равны: $AD = AC$.

Также по условию, треугольник $BCD$ равнобедренный с основанием $DC$, следовательно, боковые стороны равны: $BD = BC$.

Сторона $AB$ является общей для треугольников $\triangle ADB$ и $\triangle ACB$.

Таким образом, $\triangle ADB = \triangle ACB$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle ADB = \angle ACB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\angle ADB = \angle ACB$.

б) Из равенства треугольников $\triangle ADB$ и $\triangle ACB$, доказанного в пункте а), следует равенство соответствующих углов: $\angle DAB = \angle CAB$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ADC$. В нем $AD = AC$ (по условию). Отрезок $AO$ (часть прямой $AB$) является биссектрисой угла $\angle DAC$, так как $\angle DAO = \angle CAO$.

По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой.

Следовательно, $AO$ является медианой треугольника $\triangle ADC$, проведенной к основанию $DC$.

По определению медианы, она делит противоположную сторону пополам, значит, точка $O$ является серединой отрезка $DC$.

Отсюда следует, что $DO = OC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $DO = OC$.