Номер 149, страница 47 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 149, страница 47.

Условие.

149 $\square$ Даны прямая $a$, точка $B$, не лежащая на ней, и отрезок $PQ$. Постройте точку $M$ на прямой $a$ так, чтобы $BM = PQ$. Всегда ли задача имеет решение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Постройте точку M на прямой a так, чтобы BM = PQ

Искомая точка M должна удовлетворять двум условиям:
1) M принадлежит прямой a.
2) Расстояние от B до M равно длине отрезка PQ, то есть $BM = |PQ|$.

Геометрическим местом точек, находящихся на заданном расстоянии $R$ от точки B, является окружность с центром в B и радиусом $R$. В нашем случае радиус $R = |PQ|$. Следовательно, искомые точки M являются точками пересечения прямой a и окружности с центром в точке B и радиусом, равным длине отрезка PQ.

Алгоритм построения:

1. С помощью циркуля измерить длину отрезка PQ (установить ножку циркуля в точку P, а грифель — в точку Q).
2. Не меняя раствора циркуля, построить окружность с центром в точке B.
3. Точки, в которых построенная окружность пересекает прямую a, и будут искомыми точками M.

Ответ: Искомые точки M – это точки пересечения прямой a и окружности с центром в B и радиусом, равным длине отрезка PQ.

Всегда ли задача имеет решение?

Количество решений задачи определяется количеством точек пересечения окружности с центром B и радиусом $R = |PQ|$ с прямой a. Пусть h — расстояние от точки B до прямой a (длина перпендикуляра, опущенного из B на a).

Возможны три случая:

• Если длина отрезка PQ больше расстояния h ($|PQ| > h$), то окружность пересекает прямую в двух точках. Задача имеет два решения.
• Если длина отрезка PQ равна расстоянию h ($|PQ| = h$), то окружность касается прямой в одной точке. Задача имеет одно решение.
• Если длина отрезка PQ меньше расстояния h ($|PQ| < h$), то окружность и прямая не имеют общих точек. Задача не имеет решений.

Таким образом, задача имеет решение не всегда.

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение только в том случае, если длина отрезка PQ не меньше расстояния от точки B до прямой a.