Номер 3, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Вопросы к главе 2 - номер 3, страница 48.

Условие.

3. Что такое теорема и доказательство теоремы?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Теорема

Теорема — это математическое (или, в более широком смысле, научное) утверждение, истинность которого установлена при помощи доказательства. В отличие от аксиом, которые принимаются как истинные без доказательств и служат основой для построения теории, любая теорема требует логического обоснования.

Структура теоремы, как правило, состоит из двух частей: условия (посылки) и заключения (следствия). Условие — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Часто теорему можно сформулировать в виде логического высказывания: «Если верно условие А, то верно и заключение В».

Пример: Теорема Пифагора.
Условие: Дан прямоугольный треугольник.
Заключение: Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
В виде формулы это записывается так: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

Ответ: Теорема — это математическое утверждение, истинность которого доказывается на основе аксиом и ранее доказанных утверждений.

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы — это строгая последовательность логических умозаключений, которая показывает, что заключение теоремы с необходимостью следует из её условий и ранее принятых истин. Цель доказательства — полностью исключить любые сомнения в истинности доказываемого утверждения.

Каждый шаг в доказательстве должен быть обоснован одним из следующих положений:
1. Аксиомой (базовым утверждением, принимаемым без доказательства).
2. Определением.
3. Ранее доказанной теоремой.

Существуют различные методы доказательства, например: прямое доказательство (логическая цепочка выстраивается от условия к заключению); доказательство от противного (предполагается, что заключение ложно, и из этого выводится логическое противоречие); метод математической индукции (применяется для доказательства утверждений, зависящих от натурального числа).

Ответ: Доказательство теоремы — это строгое логическое рассуждение, которое показывает, что утверждение теоремы является истинным.