Номер 6, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Вопросы к главе 2 - номер 6, страница 48.

Условие.

6 Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведенном из данной точки к данной прямой.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Ответ: Теорема утверждает, что из точки вне прямой к этой прямой существует единственный перпендикуляр.

Доказательство

Пусть дана прямая a и точка A, не лежащая на этой прямой ($A \notin a$). Докажем, что существует единственная прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования и доказательства единственности.

1. Существование перпендикуляра.

1. Отметим на прямой a какие-нибудь две точки B и C.

2. Построим угол $∠CBA_1$, равный углу $∠CBA$, по другую сторону от прямой a.

3. На луче $BA_1$ отложим отрезок $BA_1$, равный отрезку $BA$.

4. Соединим точки A и $A_1$ отрезком. Пусть H — точка пересечения прямых $AA_1$ и a.

5. Рассмотрим треугольники $△ABH$ и $△A_1BH$. В них:

   • сторона BH — общая;

   • $AB = A_1B$ по построению;

   • $∠ABH = ∠A_1BH$ по построению.

6. Следовательно, $△ABH \cong △A_1BH$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $∠AHB = ∠A_1HB$.

8. Углы $∠AHB$ и $∠A_1HB$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$: $∠AHB + ∠A_1HB = 180^\circ$.

9. Так как эти углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$.

10. Таким образом, прямая AH перпендикулярна прямой a ($AH \perp a$). Существование перпендикуляра доказано.

2. Единственность перпендикуляра.

1. Предположим, что через точку A можно провести к прямой a еще один перпендикуляр AK, отличный от AH. Пусть K — основание этого перпендикуляра на прямой a, и $K \ne H$.

2. Тогда по нашему предположению $AH \perp a$ и $AK \perp a$. Это означает, что $∠AHK = 90^\circ$ и $∠AKH = 90^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $△AHK$. Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма его углов должна быть равна $180^\circ$.

4. Однако в треугольнике $△AHK$ два угла, $∠AHK$ и $∠AKH$, уже в сумме дают $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

5. Это означает, что на третий угол, $∠HAK$, приходится $0^\circ$, что невозможно для треугольника (точки A, H, K не лежат на одной прямой).

6. Полученное противоречие означает, что наше предположение о существовании другого перпендикуляра неверно.

7. Следовательно, перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a, единственен.

Теорема доказана.

Ответ: Доказано, что из точки, не лежащей на прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр (существование) и притом только один (единственность).