Номер 13, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Вопросы к главе 2 - номер 13, страница 48.

Условие.

13 Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB$ и $BC$ ($AB = BC$). Проведем из вершины $B$ к основанию $AC$ биссектрису $BD$.

Необходимо доказать, что $BD$ является также медианой (то есть $AD = DC$) и высотой (то есть $BD \perp AC$).

Рассмотрим два треугольника, на которые биссектриса $BD$ делит треугольник $ABC$: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Сравним эти треугольники:

1. $AB = BC$ по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный.
2. $\angle ABD = \angle CBD$ по условию, так как $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$.
3. $BD$ — общая сторона для обоих треугольников.

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

1. Соответствующие стороны равны: $AD = DC$. Так как точка $D$ делит сторону $AC$ пополам, то отрезок $BD$ является медианой треугольника $ABC$.

2. Соответствующие углы равны: $\angle BDA = \angle BDC$. Эти углы являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. То есть $\angle BDA + \angle BDC = 180^\circ$. Так как эти углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Следовательно, $BD$ перпендикулярен основанию $AC$ ($BD \perp AC$), а значит, $BD$ является высотой треугольника $ABC$.

Таким образом, мы доказали, что биссектриса $BD$, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его медианой и высотой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема доказана. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, противолежащей основанию, к этому основанию, является также медианой и высотой этого треугольника.