Номер 14, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Вопросы к главе 2 - номер 14, страница 48.

Условие.

14 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Теорема (второй признак равенства треугольников):

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Дано:

$AC = A_1C_1$

$\angle A = \angle A_1$

$\angle C = \angle C_1$

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Докажем это методом наложения.

1. Наложим треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ на треугольник $\triangle ABC$ так, чтобы сторона $A_1C_1$ совпала с равной ей стороной $AC$. Поскольку $AC = A_1C_1$, то вершина $A_1$ совместится с вершиной $A$, а вершина $C_1$ — с вершиной $C$.

2. Так как по условию $\angle A = \angle A_1$, то сторона $A_1B_1$ наложится на сторону $AB$ (то есть луч $A_1B_1$ совпадет с лучом $AB$).

3. Так как по условию $\angle C = \angle C_1$, то сторона $C_1B_1$ наложится на сторону $CB$ (то есть луч $C_1B_1$ совпадет с лучом $CB$).

4. Поскольку сторона $A_1B_1$ лежит на луче $AB$, а сторона $C_1B_1$ лежит на луче $CB$, то вершина $B_1$ (как точка пересечения сторон $A_1B_1$ и $C_1B_1$) должна одновременно лежать на луче $AB$ и на луче $CB$.

5. Две прямые могут пересекаться только в одной точке. Следовательно, вершина $B_1$ должна совпасть с точкой пересечения лучей $AB$ и $CB$, то есть с вершиной $B$.

6. Таким образом, все три вершины треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ совпадают с соответствующими вершинами треугольника $\triangle ABC$. Это означает, что треугольники полностью совмещаются, а значит, они равны.

Теорема доказана.

Ответ:

Второй признак равенства треугольников гласит: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство основано на методе наложения, при котором равные стороны и углы совмещаются, что приводит к полному совпадению треугольников.