Номер 21, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Вопросы к главе 2 - номер 21, страница 49.

Условие.

21 Объясните, как построить середину данного отрезка.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для построения середины данного отрезка с помощью циркуля и линейки без делений необходимо выполнить следующую последовательность действий, которая, по сути, является построением серединного перпендикуляра к отрезку.

Пусть дан отрезок $AB$.

1. Установить на циркуле произвольный радиус $R$, который должен быть больше половины длины отрезка $AB$. Это необходимо для того, чтобы построенные далее дуги пересекались.

2. Поместить острие циркуля в точку $A$ и провести дугу окружности радиусом $R$ с обеих сторон отрезка.

3. Не меняя установленный радиус, переместить острие циркуля в точку $B$ и провести вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках. Назовём эти точки пересечения $C$ и $D$.

4. С помощью линейки провести прямую через точки $C$ и $D$.

5. Точка пересечения прямой $CD$ и отрезка $AB$ является серединой отрезка $AB$. Обозначим эту точку $M$.

Обоснование правильности построения:

Построенная прямая $CD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Это можно доказать, рассмотрев полученные треугольники.

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$. У них:

• $AC = BC = R$ (по построению, как радиусы окружностей);

• $AD = BD = R$ (по построению, как радиусы окружностей);

• $CD$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ACD = \triangle BCD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, в частности $\angle ACM = \angle BCM$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ACM$ и $\triangle BCM$. У них:

• $AC = BC$ (по построению);

• $CM$ — общая сторона;

• $\angle ACM = \angle BCM$ (из доказанного выше).

Следовательно, $\triangle ACM = \triangle BCM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AM = BM$.

Поскольку точка $M$ принадлежит отрезку $AB$ и делит его на два равных отрезка ($AM = BM$), точка $M$ является серединой отрезка $AB$, что и требовалось построить.

Ответ: Для нахождения середины отрезка необходимо из его концов провести две пересекающиеся дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем половина длины отрезка). Затем через две точки пересечения этих дуг провести прямую. Точка, в которой эта прямая пересечет исходный отрезок, и будет его серединой.