Номер 158, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 158, страница 49.

Условие.

158 Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AC$ — основание, а $AB$ и $BC$ — боковые стороны. По условию, $AC = 8$ см. Так как треугольник равнобедренный, $AB = BC$. Обозначим длину боковой стороны через $x$, то есть $AB = BC = x$.

Проведём медиану $AM$ к боковой стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{x}{2}$.

Медиана $AM$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle AMC$.

Найдём периметры этих двух треугольников.
Периметр треугольника $ABM$ ($P_{ABM}$) равен: $P_{ABM} = AB + BM + AM = x + \frac{x}{2} + AM$.
Периметр треугольника $AMC$ ($P_{AMC}$) равен: $P_{AMC} = AC + MC + AM = 8 + \frac{x}{2} + AM$.

По условию задачи, периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Это означает, что разность их периметров равна 2 см. Рассмотрим разность периметров:

$P_{ABM} - P_{AMC} = (x + \frac{x}{2} + AM) - (8 + \frac{x}{2} + AM) = x - 8$.

Поскольку мы не знаем, какой из периметров больше, модуль этой разности должен быть равен 2:

$|x - 8| = 2$.

Данное уравнение имеет два возможных решения:

1) $x - 8 = 2$
$x = 8 + 2$
$x = 10$.

2) $x - 8 = -2$
$x = 8 - 2$
$x = 6$.

Мы получили два возможных значения для длины боковой стороны. Необходимо проверить, удовлетворяют ли они неравенству треугольника для исходного треугольника со сторонами $x, x, 8$. Сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Проверка для $x = 10$ см:
Стороны треугольника 10 см, 10 см, 8 см.
$10 + 10 > 8$ (20 > 8) — верно.
$10 + 8 > 10$ (18 > 10) — верно.
Это решение является допустимым.

Проверка для $x = 6$ см:
Стороны треугольника 6 см, 6 см, 8 см.
$6 + 6 > 8$ (12 > 8) — верно.
$6 + 8 > 6$ (14 > 6) — верно.
Это решение также является допустимым.

Ответ: 10 см или 6 см.