Номер 161, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 161, страница 49.

Условие.

161 В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ медианы $AM$ и $A_1M_1$ равны, $BC=B_1C_1$ и $\angle AMB = \angle A_1M_1B_1$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:
В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$:
$AM$ и $A_1M_1$ – медианы,
$AM = A_1M_1$,
$BC = B_1C_1$,
$\angle AMB = \angle A_1M_1B_1$.

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle A_1M_1B_1$.

Поскольку $AM$ и $A_1M_1$ являются медианами, они делят стороны $BC$ и $B_1C_1$ пополам в точках $M$ и $M_1$ соответственно. Отсюда следует, что $BM = \frac{1}{2}BC$ и $B_1M_1 = \frac{1}{2}B_1C_1$.

Так как по условию $BC = B_1C_1$, то и их половины равны: $BM = B_1M_1$.

2. Теперь мы можем сравнить треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle A_1M_1B_1$. У них:
- $AM = A_1M_1$ (по условию)
- $BM = B_1M_1$ (как доказано выше)
- $\angle AMB = \angle A_1M_1B_1$ (по условию)
Следовательно, $\triangle AMB = \triangle A_1M_1B_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников $\triangle AMB$ и $\triangle A_1M_1B_1$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны стороны $AB$ и $A_1B_1$, а также углы $\angle ABM$ и $\angle A_1B_1M_1$. Так как точки $M$ и $M_1$ лежат на сторонах $BC$ и $B_1C_1$, то $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.

4. Наконец, рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. У них:
- $AB = A_1B_1$ (из п. 3)
- $BC = B_1C_1$ (по условию)
- $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (из п. 3)
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.