Номер 167, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 167, страница 51.

Условие.

167 Стороны равностороннего треугольника $ABC$ продолжены, как показано на рисунке 94, на равные отрезки $AD, CE, BF$. Докажите, что треугольник $DEF$ — равносторонний.

Рис. 94

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $ \triangle FAD $, $ \triangle DCE $ и $ \triangle EBF $. Докажем, что эти треугольники равны. Из их равенства будет следовать, что стороны $ FD $, $ DE $ и $ EF $ равны, а значит, треугольник $ \triangle DEF $ является равносторонним.

1. По условию, треугольник $ \triangle ABC $ является равносторонним. Это означает, что все его стороны и углы равны:
$ AB = BC = CA $
$ \angle CAB = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ $

2. Также по условию, стороны треугольника $ ABC $ продолжены на равные отрезки:
$ AD = CE = BF $

3. Сравним стороны треугольников $ \triangle FAD $, $ \triangle DCE $ и $ \triangle EBF $. Обозначим длину сторон $ \triangle ABC $ как $ a $, а длину отрезков-продолжений как $ b $.
Из условия и рисунка следует, что точки $ C, A, D $, точки $ B, C, E $ и точки $ A, B, F $ лежат на одних прямых. Тогда:
$ FA = AB + BF = a + b $
$ DC = CA + AD = a + b $
$ EB = BC + CE = a + b $
Таким образом, получаем, что $ FA = DC = EB $.
Вторая пара сторон также равна по условию: $ AD = CE = BF = b $.

4. Теперь найдем углы между этими сторонами в каждом треугольнике: $ \angle DAF $, $ \angle ECD $ и $ \angle FBE $.
Эти углы являются смежными с внутренними углами равностороннего треугольника $ \triangle ABC $.
$ \angle DAF = 180^\circ - \angle CAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $
$ \angle ECD = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $
$ \angle FBE = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $
Следовательно, $ \angle DAF = \angle ECD = \angle FBE $.

5. Мы установили, что в треугольниках $ \triangle FAD $, $ \triangle DCE $ и $ \triangle EBF $ две стороны и угол между ними соответственно равны ($ FA = DC = EB $, $ AD = CE = BF $ и $ \angle DAF = \angle ECD = \angle FBE $).
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $ \triangle FAD \cong \triangle DCE \cong \triangle EBF $.

6. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, которые являются сторонами треугольника $ \triangle DEF $:
$ FD = DE = EF $.

Поскольку все стороны треугольника $ \triangle DEF $ равны, он является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $ DEF $ является равносторонним, так как было доказано равенство всех его сторон ($ FD = DE = EF $).