Номер 170, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 170, страница 51.

Условие.

170 Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, если $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$, $AD = A_1D_1$, где $AD$ и $A_1D_1$ — биссектрисы треугольников.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

$△ABC$ и $△A_1B_1C_1$

$AB = A_1B_1$

$∠A = ∠A_1$

$AD = A_1D_1$

$AD$ — биссектриса $∠A$ в $△ABC$

$A_1D_1$ — биссектриса $∠A_1$ в $△A_1B_1C_1$

Доказать:

$△ABC \cong △A_1B_1C_1$

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$.

Поскольку $AD$ и $A_1D_1$ являются биссектрисами углов $A$ и $A_1$ соответственно, они делят эти углы пополам:

$∠BAD = \frac{1}{2}∠A$

$∠B_1A_1D_1 = \frac{1}{2}∠A_1$

Так как по условию $∠A = ∠A_1$, то и их половины равны: $∠BAD = ∠B_1A_1D_1$.

2. Сравним треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$ по трём элементам:

• $AB = A_1B_1$ (по условию)
• $AD = A_1D_1$ (по условию)
• $∠BAD = ∠B_1A_1D_1$ (как доказано выше)

Следовательно, $△ABD \cong △A_1B_1D_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников $ABD$ и $A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их углы: $∠B = ∠B_1$.

4. Теперь рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Сравним их элементы:

• $AB = A_1B_1$ (по условию)
• $∠A = ∠A_1$ (по условию)
• $∠B = ∠B_1$ (как доказано в п.3)

Следовательно, $△ABC \cong △A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано на основании первого и второго признаков равенства треугольников.