Номер 176, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 176, страница 52.

Условие.

176* Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, если $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $AM = A_1M_1$, где $AM$ и $A_1M_1$ — медианы треугольников.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ используем метод дополнительного построения.

1. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину, получив точку $D$ так, что $AM = MD$. Соединим точку $D$ с точкой $C$. Аналогично продлим медиану $A_1M_1$ за точку $M_1$ на ее длину, получив точку $D_1$ так, что $A_1M_1 = M_1D_1$. Соединим точку $D_1$ с точкой $C_1$.

2. Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению $AM = MD$. Так как $AM$ – медиана треугольника $ABC$, то $M$ – середина стороны $BC$, то есть $BM = MC$. Поскольку диагонали четырехугольника $ABDC$ точкой пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны, то есть $CD = AB$.

3. Аналогично, четырехугольник $A_1B_1D_1C_1$ является параллелограммом, так как его диагонали $A_1D_1$ и $B_1C_1$ точкой пересечения $M_1$ делятся пополам. Следовательно, $C_1D_1 = A_1B_1$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $ACD$ и $A_1C_1D_1$.

• $AC = A_1C_1$ по условию.
• $CD = AB$ (из свойства параллелограмма $ABDC$) и $C_1D_1 = A_1B_1$ (из свойства параллелограмма $A_1B_1D_1C_1$). Так как по условию $AB = A_1B_1$, то $CD = C_1D_1$.
• $AD = AM + MD = 2AM$. Аналогично, $A_1D_1 = A_1M_1 + M_1D_1 = 2A_1M_1$. Так как по условию $AM = A_1M_1$, то $AD = A_1D_1$.

Следовательно, треугольник $ACD$ равен треугольнику $A_1C_1D_1$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

5. Из равенства треугольников $ACD$ и $A_1C_1D_1$ следует равенство их соответствующих углов: $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$.

6. Точно так же, рассматривая треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$, можно доказать их равенство по трем сторонам ($AB=A_1B_1$, $BD=AC=A_1C_1=B_1D_1$, $AD=A_1D_1$), откуда следует равенство углов $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$.

7. Теперь найдем угол $\angle BAC$ и $\angle B_1A_1C_1$:
$\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM$
$\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1A_1M_1 + \angle C_1A_1M_1$
Так как мы доказали, что $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$ и $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$, то $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

8. Наконец, сравним исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

• $AB = A_1B_1$ (по условию).
• $AC = A_1C_1$ (по условию).
• $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (доказано выше).

Таким образом, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников доказано на основании признака равенства по двум сторонам и углу между ними, после предварительного доказательства равенства этих углов с помощью дополнительного построения.