Номер 180, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 180, страница 52.

Условие.

180 Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи построим искомый центр окружности как пересечение двух геометрических мест точек. Пусть нам даны радиус $R$ (в виде отрезка), точка $A$, через которую должна проходить окружность, и прямая $a$, на которой должен лежать её центр.

Центр искомой окружности, обозначим его $O$, должен удовлетворять двум условиям:

1. Центр $O$ должен лежать на данной прямой $a$.
2. Расстояние от центра $O$ до данной точки $A$ должно быть равно данному радиусу $R$ (так как окружность проходит через точку $A$).

Первое условие означает, что искомый центр $O$ является точкой прямой $a$. Второе условие означает, что искомый центр $O$ является точкой окружности с центром в $A$ и радиусом $R$. Таким образом, чтобы найти точку $O$, необходимо найти точки пересечения прямой $a$ и окружности с центром в $A$ и радиусом $R$.

Отсюда следует алгоритм построения:

1. Строим вспомогательную окружность с центром в данной точке $A$ и радиусом, равным данному отрезку $R$.
2. Находим точки пересечения построенной окружности с данной прямой $a$. Обозначим эти точки (если они существуют) $O_1$ и $O_2$.
3. Каждая из найденных точек пересечения является центром искомой окружности. Строим окружность (или окружности) с центром в точке $O_1$ (и $O_2$) и радиусом $R$.

Исследование количества решений

Число решений задачи зависит от количества точек пересечения вспомогательной окружности и прямой $a$, что определяется расстоянием от точки $A$ до прямой $a$. Обозначим это расстояние как $d$.

• Если расстояние от точки до прямой больше радиуса ($d > R$), то прямая и вспомогательная окружность не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений.
• Если расстояние от точки до прямой равно радиусу ($d = R$), то прямая касается вспомогательной окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если расстояние от точки до прямой меньше радиуса ($d < R$), то прямая пересекает вспомогательную окружность в двух точках. В этом случае задача имеет два решения.

Ответ: Для построения искомой окружности следует построить вспомогательную окружность с центром в данной точке $A$ и радиусом $R$. Точки пересечения этой окружности с данной прямой $a$ будут являться центрами искомых окружностей. В зависимости от исходных данных задача может иметь два, одно или ни одного решения.