Номер 186, страница 56 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 1. Признаки параллельности прямых - номер 186, страница 56.

Условие.

186 На рисунке 106 прямые a и b пересечены прямой c. Докажите, что $a \parallel b$, если:

а) $ \angle 1=37^{\circ}, \angle 7=143^{\circ}; $

б) $ \angle 1 = \angle 6; $

в) $ \angle 1=45^{\circ}, $ а угол $7$ в три раза больше угла $3$.

Рис. 106

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) Дано: $\angle 1 = 37^{\circ}$, $\angle 7 = 143^{\circ}$.
Углы $\angle 7$ и $\angle 8$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $b$. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$.
Следовательно, $\angle 8 = 180^{\circ} - \angle 7 = 180^{\circ} - 143^{\circ} = 37^{\circ}$.
Мы имеем $\angle 1 = 37^{\circ}$ (по условию) и $\angle 8 = 37^{\circ}$ (по вычислению). Таким образом, $\angle 1 = \angle 8$.
Углы $\angle 1$ и $\angle 8$ являются соответственными углами при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$.
Поскольку соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Ответ: Доказано, что $a \parallel b$.

б) Дано: $\angle 1 = \angle 6$.
Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle 1 = \angle 3$.
Углы $\angle 6$ и $\angle 8$ также являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle 6 = \angle 8$.
Из условия $\angle 1 = \angle 6$ и приведенных выше равенств следует, что $\angle 3 = \angle 8$.
Углы $\angle 3$ и $\angle 8$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$.
Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Ответ: Доказано, что $a \parallel b$.

в) Дано: $\angle 1 = 45^{\circ}$, а угол 7 в три раза больше угла 3 ($\angle 7 = 3 \cdot \angle 3$).
Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются вертикальными, следовательно, $\angle 3 = \angle 1 = 45^{\circ}$.
По условию $\angle 7 = 3 \cdot \angle 3$. Подставим значение $\angle 3$: $\angle 7 = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ}$.
Углы $\angle 5$ и $\angle 7$ являются вертикальными, следовательно, $\angle 5 = \angle 7 = 135^{\circ}$.
Рассмотрим углы $\angle 3$ и $\angle 5$. Они являются внутренними односторонними углами при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$.
Найдем их сумму: $\angle 3 + \angle 5 = 45^{\circ} + 135^{\circ} = 180^{\circ}$.
Поскольку сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$, то по признаку параллельности прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Ответ: Доказано, что $a \parallel b$.