Номер 190, страница 56 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 1. Признаки параллельности прямых - номер 190, страница 56.

Условие.

190 На рисунке 109 $AB = BC, AD = DE, \angle C = 70^{\circ}, \angle EAC = 35^{\circ}$. Докажите, что $DE \parallel AC$.

Рис. 109

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию $AB = BC$, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BAC = \angle C$. Так как по условию $\angle C = 70^{\circ}$, то и $\angle BAC = 70^{\circ}$.

2. Угол $\angle BAC$ состоит из двух углов: $\angle DAE$ и $\angle EAC$ (поскольку точка $D$ лежит на стороне $AB$). Таким образом, мы можем найти величину угла $\angle DAE$:
$\angle DAE = \angle BAC - \angle EAC = 70^{\circ} - 35^{\circ} = 35^{\circ}$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ADE$. По условию $AD = DE$, следовательно, треугольник $ADE$ также является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол $\angle DEA$ лежит напротив стороны $AD$, а угол $\angle DAE$ лежит напротив стороны $DE$. Значит, $\angle DEA = \angle DAE$.

4. Из пункта 2 мы знаем, что $\angle DAE = 35^{\circ}$, следовательно, $\angle DEA = 35^{\circ}$.

5. Рассмотрим прямые $DE$ и $AC$ и секущую $AE$. Углы $\angle DEA$ и $\angle EAC$ являются внутренними накрест лежащими углами. Мы установили, что $\angle DEA = 35^{\circ}$, и по условию дано, что $\angle EAC = 35^{\circ}$.

6. Поскольку внутренние накрест лежащие углы $\angle DEA$ и $\angle EAC$ равны ($35^{\circ} = 35^{\circ}$), то по признаку параллельности прямых, прямая $DE$ параллельна прямой $AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.