Номер 184, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 184, страница 52.

Условие.

184 На стороне $BC$ треугольника $ABC$ постройте точку, равноудалённую от вершин $A$ и $C$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Чтобы найти на стороне $BC$ треугольника $ABC$ точку, равноудаленную от вершин $A$ и $C$, необходимо использовать свойство серединного перпендикуляра.

Анализ
Пусть искомая точка — это точка $D$, лежащая на стороне $BC$. По условию задачи, она должна быть равноудалена от вершин $A$ и $C$. Это означает, что расстояние $AD$ должно быть равно расстоянию $CD$, то есть $AD = CD$.
Множество всех точек, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае $A$ и $C$), представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезок $AC$).
Таким образом, искомая точка $D$ должна удовлетворять двум условиям:
1. Принадлежать стороне $BC$.
2. Принадлежать серединному перпендикуляру к отрезку $AC$.
Следовательно, точка $D$ является точкой пересечения стороны $BC$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AC$.

Построение
Построение выполняется с помощью циркуля и линейки в следующей последовательности:
1. Строим отрезок $AC$.
2. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ проводим две дуги окружности с одинаковым радиусом, большим половины длины отрезка $AC$. Эти дуги пересекутся в двух точках.
3. Через две точки пересечения дуг проводим прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Обозначим эту прямую как $m$.
4. Находим точку пересечения прямой $m$ со стороной $BC$ треугольника $ABC$. Обозначим эту точку $D$.
Точка $D$ и является искомой точкой.

Доказательство
По нашему построению, точка $D$ принадлежит стороне $BC$. Также точка $D$ принадлежит серединному перпендикуляру $m$ к отрезку $AC$. По определению серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, для точки $D$ выполняется равенство $AD = CD$. Таким образом, точка $D$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Примечание: Задача имеет решение, если серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает именно отрезок $BC$, а не его продолжение. В большинстве общих случаев треугольников такое пересечение существует.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $AC$ со стороной $BC$.