Номер 177, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 177, страница 52.

Условие.

177* Даны два треугольника: $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Известно, что $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $K$ и $L$, а на сторонах $A_1C_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ — точки $K_1$ и $L_1$ так, что $AK = A_1K_1$, $LC = L_1C_1$. Докажите, что:

a) $KL = K_1L_1$;

б) $AL = A_1L_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Сначала рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию задачи нам дано, что $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$.

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), мы можем заключить, что треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$. То есть, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Из этого равенства следует, что все соответствующие элементы этих треугольников равны. В частности, для нашего доказательства важны следующие равенства: $BC = B_1C_1$ и $\angle C = \angle C_1$.

а)

Для доказательства равенства $KL = K_1L_1$ рассмотрим треугольники $KLC$ и $K_1L_1C_1$.

1. Сторона $LC$ равна стороне $L_1C_1$ по условию задачи: $LC = L_1C_1$.

2. Сторону $KC$ можно выразить как разность $AC - AK$. Аналогично, $K_1C_1 = A_1C_1 - A_1K_1$. Так как по условию $AC = A_1C_1$ и $AK = A_1K_1$, то $KC = AC - AK = A_1C_1 - A_1K_1 = K_1C_1$.

3. Угол $\angle C$ равен углу $\angle C_1$, так как это соответственные углы в равных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $KLC$ ($KC$, $LC$, $\angle C$), которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $K_1L_1C_1$ ($K_1C_1$, $L_1C_1$, $\angle C_1$).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle KLC \cong \triangle K_1L_1C_1$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон, а именно $KL = K_1L_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $KL = K_1L_1$.

б)

Для доказательства равенства $AL = A_1L_1$ рассмотрим треугольники $ALC$ и $A_1L_1C_1$.

1. Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ по условию задачи: $AC = A_1C_1$.

2. Сторона $LC$ равна стороне $L_1C_1$ по условию задачи: $LC = L_1C_1$.

3. Угол $\angle C$ равен углу $\angle C_1$, как было установлено ранее из равенства $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Мы снова имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $ALC$ ($AC$, $LC$, $\angle C$), которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $A_1L_1C_1$ ($A_1C_1$, $L_1C_1$, $\angle C_1$).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ALC \cong \triangle A_1L_1C_1$. Из этого следует, что их соответственные стороны равны, то есть $AL = A_1L_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AL = A_1L_1$.