Номер 171, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 171, страница 51.

Условие.

171. В треугольниках ABC и ADC стороны BC и AD равны и пересекаются в точке O, $ \angle OAC = \angle OCA $. Докажите, что треугольники ABO и CDO равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства равенства треугольников $ABO$ и $CDO$ воспользуемся данными из условия задачи.

1. Рассмотрим треугольник $AOC$. По условию нам дано, что $\angle OAC = \angle OCA$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AOC$ — равнобедренный с основанием $AC$.

2. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. В треугольнике $AOC$ стороне $OC$ противолежит угол $\angle OAC$, а стороне $AO$ — угол $\angle OCA$. Так как эти углы равны, то равны и противолежащие им стороны: $AO = CO$.

3. По условию задачи стороны $BC$ и $AD$ равны ($BC = AD$) и пересекаются в точке $O$. Это означает, что точка $O$ лежит на отрезках $BC$ и $AD$. Таким образом, мы можем записать длины этих отрезков через их части: $BC = BO + OC$ и $AD = AO + OD$.

4. Приравняем выражения для длин равных сторон $BC$ и $AD$:
$BO + OC = AO + OD$.

5. Из пункта 2 мы знаем, что $AO = CO$. Подставим это равенство в выражение, полученное в пункте 4:
$BO + CO = CO + OD$.
Вычтем из обеих частей равенства длину отрезка $CO$, получим:
$BO = OD$.

6. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AD$ и $BC$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOB = \angle COD$.

7. Теперь рассмотрим треугольники $ABO$ и $CDO$. Мы установили, что:
• $AO = CO$ (из пункта 2);
• $BO = DO$ (из пункта 5);
• $\angle AOB = \angle COD$ (из пункта 6).
Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $ABO$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $CDO$.

8. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники $ABO$ и $CDO$ равны.

Ответ: Равенство треугольников $ABO$ и $CDO$ доказано.