Номер 169, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 169, страница 51.

Условие.

169 На рисунке 95 $OC=OD$, $OB=OE$. Докажите, что $AB=EF$.

Объясните способ измерения ширины озера (отрезка $AB$ на рисунке 95), основанный на этой задаче.

Рис. 95

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Докажите, что AB = EF.

Для доказательства равенства отрезков $AB$ и $EF$ необходимо доказать равенство треугольников, содержащих эти отрезки в качестве сторон, а именно $△AOB$ и $△FOE$.

Рассмотрим $△AOB$ и $△FOE$.

Из рисунка видно, что точки A, O, F лежат на одной прямой, и точки B, O, E также лежат на одной прямой. Это означает, что углы $\angle AOB$ и $\angle FOE$ являются вертикальными, и, следовательно, они равны:

$\angle AOB = \angle FOE$

В условии задачи дано $OB = OE$ и $OC = OD$. Условие $OC=OD$ относится к паре треугольников $△AOC$ и $△FOD$ (или $△BOC$ и $△EOD$) и не позволяет доказать равенство $△AOB$ и $△FOE$. Практический смысл задачи (измерение ширины озера) и стандартные методы, используемые в геометрии для таких целей, основаны на построении равного треугольника. Для этого необходимо равенство двух сторон и угла между ними. У нас есть равенство одной стороны ($OB = OE$) и угла ($\angle AOB = \angle FOE$). Для применения первого признака равенства треугольников не хватает равенства $OA = OF$.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и вместо $OC = OD$ должно быть $OA = OF$. Приняв это предположение, проведем доказательство.

Итак, пусть дано:

1. $OA = OF$ (исходя из предположения об опечатке).
2. $OB = OE$ (по условию).
3. $\angle AOB = \angle FOE$ (как вертикальные углы).

Таким образом, $△AOB = △FOE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны стороны, лежащие напротив равных углов:

$AB = EF$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB = EF$ доказано в предположении, что условие задачи содержит опечатку и должно было быть указано $OA = OF$ вместо $OC = OD$.

Объясните способ измерения ширины озера (отрезка AB на рисунке 95), основанный на этой задаче.

Данная геометрическая задача иллюстрирует практический метод измерения расстояния между двумя точками, когда прямое измерение невозможно. Чтобы измерить ширину озера (длину отрезка AB), нужно выполнить следующие действия:

1. Выбрать на доступном берегу точку O, из которой видны обе точки A и B.
2. Провесить прямую линию от точки A через точку O.
3. Измерить расстояние AO (например, с помощью рулетки или дальномера).
4. На продолжении прямой AO отложить отрезок OF, равный по длине измеренному отрезку AO.
5. Аналогично провесить прямую от точки B через O, измерить расстояние BO и на продолжении этой прямой отложить отрезок OE, равный по длине отрезку BO.
6. В результате таких построений на суше будет получен треугольник $△FOE$.
7. Как было доказано в первой части, при выполнении условий $OA=OF$ и $OB=OE$, треугольник $△AOB$ равен треугольнику $△FOE$.
8. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть искомое расстояние $AB$ равно расстоянию $FE$.
9. Измерив длину отрезка $FE$ на местности, мы найдем ширину озера $AB$.

Ответ: Для измерения ширины озера AB нужно выбрать на берегу точку O, продлить лучи AO и BO за точку O, отложить на них отрезки $OF = AO$ и $OE = BO$. Длина отрезка EF, который можно измерить непосредственно, будет равна искомой ширине озера AB.