Номер 168, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 168, страница 51.

Условие.

168. В треугольнике $ABC \angle A=38^{\circ}, \angle B=110^{\circ}, \angle C=32^{\circ}$. На стороне $AC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что точка $D$ лежит на отрезке $AE$, $BD=DA, BE=EC$. Найдите угол $DBE$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи дан треугольник $ABC$ с углами $ \angle A = 38^\circ $, $ \angle B = 110^\circ $, $ \angle C = 32^\circ $. На стороне $AC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $ BD = DA $ и $ BE = EC $.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $BD = DA$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, угол, противолежащий стороне $BD$, равен углу, противолежащему стороне $DA$. $ \angle ABD = \angle A $. Подставляя известное значение $ \angle A $, получаем: $ \angle ABD = 38^\circ $.

Рассмотрим треугольник $BEC$. Так как $BE = EC$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, угол, противолежащий стороне $BE$, равен углу, противолежащему стороне $EC$. $ \angle EBC = \angle C $. Подставляя известное значение $ \angle C $, получаем: $ \angle EBC = 32^\circ $.

Угол $B$ треугольника $ABC$ (то есть $ \angle ABC $) складывается из трех углов: $ \angle ABD $, $ \angle DBE $ и $ \angle EBC $, поскольку точки $D$ и $E$ лежат на стороне $AC$ и луч $BD$ и $BE$ проходят внутри угла $ABC$. Таким образом, можно записать равенство: $ \angle ABC = \angle ABD + \angle DBE + \angle EBC $.

Подставим известные значения углов в это равенство, чтобы найти неизвестный угол $ \angle DBE $: $ 110^\circ = 38^\circ + \angle DBE + 32^\circ $.

Сначала сложим известные углы в правой части уравнения: $ 110^\circ = (38^\circ + 32^\circ) + \angle DBE $. $ 110^\circ = 70^\circ + \angle DBE $.

Теперь выразим $ \angle DBE $: $ \angle DBE = 110^\circ - 70^\circ $. $ \angle DBE = 40^\circ $.

Ответ: $ 40^\circ $.