Номер 173, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 173, страница 52.

Условие.

173* Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим произвольный треугольник, назовем его $ABC$. Обозначим его внутренние углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ как $∠A$, $∠B$ и $∠C$ соответственно.

Рассмотрим угол, смежный с углом $∠C$. Это внешний угол треугольника при вершине $C$. Чтобы его построить, продлим сторону $AC$ за вершину $C$ до некоторой точки $D$. Полученный угол $∠BCD$ и есть искомый смежный угол.

Нам необходимо доказать, что этот внешний угол больше каждого из двух других внутренних углов треугольника, то есть $∠BCD > ∠A$ и $∠BCD > ∠B$.

Доказательство основано на двух ключевых свойствах:

1. Теорема о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма внутренних углов любого треугольника равна $180°$. Для нашего треугольника $ABC$ это записывается так:
   $∠A + ∠B + ∠C = 180°$
2. Определение смежных углов, согласно которому их сумма равна $180°$. Для углов $∠C$ и $∠BCD$ это означает:
   $∠C + ∠BCD = 180°$

Теперь проведем преобразования. Из первого уравнения выразим сумму углов $∠A$ и $∠B$:
$∠A + ∠B = 180° - ∠C$

Из второго уравнения выразим внешний угол $∠BCD$:
$∠BCD = 180° - ∠C$

Мы видим, что правые части обоих полученных равенств идентичны ($180° - ∠C$). Это означает, что их левые части также равны между собой:
$∠BCD = ∠A + ∠B$

Это известное свойство: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Поскольку любой угол в невырожденном треугольнике имеет положительную градусную меру (т.е. $∠A > 0$ и $∠B > 0$), из равенства $∠BCD = ∠A + ∠B$ следует, что:

• $∠BCD > ∠A$, так как к положительной величине $∠A$ прибавляется другая положительная величина $∠B$.
• $∠BCD > ∠B$, так как к положительной величине $∠B$ прибавляется другая положительная величина $∠A$.

Таким образом, мы доказали, что угол, смежный с одним из углов треугольника, всегда больше каждого из двух других углов этого треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов. Поскольку градусная мера любого угла треугольника положительна, внешний угол всегда будет строго больше каждого из этих двух углов.