Номер 174, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 174, страница 52.

Условие.

174* Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1 B_1 C_1$, если $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $BC = B_1 C_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства равенства треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника и вторым признаком равенства треугольников.

Дано:
$ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $
$ \angle A = \angle A_1 $
$ \angle B = \angle B_1 $
$ BC = B_1C_1 $

Доказать:
$ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $

Доказательство:
1. Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $.
Для треугольника $ \triangle ABC $ справедливо равенство: $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $.
Отсюда мы можем выразить угол $ \angle C $: $ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) $.
Аналогично для треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $: $ \angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ $.
Отсюда выражаем угол $ \angle C_1 $: $ \angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1) $.

2. По условию задачи $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle B = \angle B_1 $. Если мы подставим эти равенства в выражение для $ \angle C_1 $, то получим:
$ \angle C_1 = 180^\circ - (\angle A + \angle B) $.
Сравнивая полученное выражение с выражением для $ \angle C $, мы видим, что их правые части равны, следовательно, равны и левые: $ \angle C = \angle C_1 $.

3. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Нам известно следующее:
- $ \angle B = \angle B_1 $ (по условию)
- $ BC = B_1C_1 $ (по условию)
- $ \angle C = \angle C_1 $ (доказано выше)

Мы видим, что сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($BC$, $ \angle B $ и $ \angle C $) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($B_1C_1$, $ \angle B_1 $ и $ \angle C_1 $).

4. Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $. Равенство следует из второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), после того как было установлено равенство углов $ \angle C $ и $ \angle C_1 $ на основе теоремы о сумме углов треугольника.