Номер 172, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 172, страница 51.

Условие.

172 На рисунке 96 $AC=AD$, $AB \perp CD$. Докажите, что $BC=BD$ и $\angle ACB = \angle ADB$.

Рис. 96

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство, что $BC = BD$
Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. По условию задачи $AC = AD$, следовательно, $\triangle ACD$ является равнобедренным с основанием $CD$.
Пусть $H$ — точка пересечения отрезков $AB$ и $CD$. Так как по условию $AB \perp CD$, то отрезок $AH$ является высотой в $\triangle ACD$, проведенной к основанию $CD$.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Это означает, что $H$ — середина отрезка $CD$, и, следовательно, $CH = DH$.
Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BCH$ и $\triangle BDH$. У них сторона $BH$ является общей, $CH = DH$ (как доказано выше), и углы $\angle BHC$ и $\angle BHD$ равны $90^\circ$ (так как $AB \perp CD$).
Таким образом, $\triangle BCH \cong \triangle BDH$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, или по двум катетам для прямоугольных треугольников).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $BC = BD$.
Ответ: что и требовалось доказать.

Доказательство, что $\angle ACB = \angle ADB$
Рассмотрим треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ADB$.
Мы знаем, что $AC = AD$ (по условию), $BC = BD$ (как доказано в предыдущем пункте), и сторона $AB$ является общей для обоих треугольников.
Следовательно, $\triangle ACB \cong \triangle ADB$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, то есть $\angle ACB = \angle ADB$.
Ответ: что и требовалось доказать.