Номер 166, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 166, страница 51.

Условие.

166 Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в их общей середине $O$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AC$ и $BD$. Докажите, что точка $O$ — середина отрезка $MN$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы доказать, что точка $O$ является серединой отрезка $MN$, необходимо установить два факта: во-первых, что отрезки $OM$ и $ON$ равны ($OM=ON$), и во-вторых, что точки $M$, $O$, $N$ лежат на одной прямой.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$. По условию задачи, отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в их общей середине $O$, следовательно, $AO = OB$ и $CO = OD$. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ равны как вертикальные. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOC \cong \triangle BOD$.

2. Из равенства треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ следует равенство их соответствующих элементов:

• $AC = BD$
• $\angle CAO = \angle DBO$ (или $\angle OAC = \angle OBD$)

3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BON$.

• $AO = OB$ (по условию).
• $\angle OAM = \angle OBN$ (как показано в пункте 2).
• Точка $M$ — середина $AC$, значит $AM = \frac{1}{2}AC$.
• Точка $N$ — середина $BD$, значит $BN = \frac{1}{2}BD$.

Поскольку $AC = BD$, то и их половины равны, то есть $AM = BN$.

4. Таким образом, в треугольниках $\triangle AOM$ и $\triangle BON$ имеются две равные стороны и угол между ними ($AO = OB$, $AM = BN$, $\angle OAM = \angle OBN$). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle AOM \cong \triangle BON$.

5. Из равенства треугольников $\triangle AOM$ и $\triangle BON$ следует, что $OM = ON$ и $\angle AOM = \angle BON$.

6. Осталось доказать, что точки $M, O, N$ лежат на одной прямой. Поскольку точка $O$ — середина отрезка $AB$, точки $A, O, B$ лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle AOB$ является развернутым и равен $180^\circ$. Этот угол можно представить как сумму углов: $\angle AOB = \angle AOM + \angle MOB = 180^\circ$. Из пункта 5 мы знаем, что $\angle AOM = \angle BON$. Заменив $\angle AOM$ в предыдущем равенстве, получим: $\angle BON + \angle MOB = 180^\circ$. Это равенство означает, что сумма смежных углов $\angle BON$ и $\angle MOB$ составляет $180^\circ$, следовательно, их внешние стороны $ON$ и $OM$ являются дополнительными лучами и лежат на одной прямой.

Мы доказали, что $OM = ON$ и точки $M, O, N$ лежат на одной прямой. Это, по определению, означает, что точка $O$ является серединой отрезка $MN$.

Ответ: Утверждение доказано.