Номер 160, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 160, страница 49.

Условие.

160 Прямая $a$ проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна к нему. Докажите, что:

а) каждая точка прямой $a$ равноудалена от точек $A$ и $B$;

б) каждая точка, равноудалённая от точек $A$ и $B$, лежит на прямой $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Данная задача доказывает свойство срединного перпендикуляра к отрезку, который является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка. Доказательство состоит из двух частей: прямой и обратной теоремы.

а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В

Пусть прямая а проходит через середину М отрезка АВ и перпендикулярна ему. Возьмем на прямой а произвольную точку Р. Рассмотрим треугольники $\triangle PMA$ и $\triangle PMB$.

По условию, М — середина отрезка АВ, следовательно, $AM = MB$.

Также по условию прямая а перпендикулярна отрезку АВ ($a \perp AB$), значит, углы $\angle PMA$ и $\angle PMB$ являются прямыми, то есть $\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ$.

Сторона PM является общей для обоих треугольников.

Таким образом, $\triangle PMA = \triangle PMB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: $AM=MB$, $PM$ — общая, $\angle PMA = \angle PMB$).

Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие стороны. В частности, равны их гипотенузы: $PA = PB$.

Так как точка Р была выбрана на прямой а произвольно, мы доказали, что любая точка прямой а равноудалена от точек А и В.

Ответ: Утверждение доказано. Расстояние от любой точки на прямой а до точки А равно расстоянию до точки В.

б) каждая точка, равноудалённая от точек А и В, лежит на прямой а

Пусть точка Q равноудалена от точек А и В, то есть $QA = QB$. Рассмотрим треугольник $\triangle AQB$.

Так как у него две стороны равны ($QA = QB$), треугольник $\triangle AQB$ является равнобедренным с основанием АВ.

Рассмотрим случай, когда точка Q лежит на прямой AB. Поскольку $QA=QB$, точка Q должна быть серединой отрезка AB. Середина отрезка AB по условию лежит на прямой a.

Теперь рассмотрим случай, когда точка Q не лежит на прямой AB. Проведем медиану QM к основанию АВ треугольника $\triangle AQB$. По определению медианы, точка М является серединой отрезка АВ.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, $QM \perp AB$.

Таким образом, прямая, на которой лежит отрезок QM, проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна ему. По определению, данному в условии задачи, это и есть прямая а.

Значит, точка Q лежит на прямой а.

Ответ: Утверждение доказано. Любая точка, равноудалённая от точек А и В, лежит на прямой а.