Номер 20, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Вопросы к главе 2 - номер 20, страница 49.

Условие.

20 Объясните, как построить прямую, проходящую через данную точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную к этой прямой.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для построения прямой, проходящей через данную точку $M$, лежащую на данной прямой $a$, и перпендикулярной к этой прямой, необходимо с помощью циркуля и линейки выполнить следующий алгоритм:

1. Установить острие циркуля в точку $M$ и начертить окружность (или две дуги) произвольного радиуса $r$. Эта окружность пересечет прямую $a$ в двух точках. Обозначим эти точки как $A$ и $B$. По построению, точка $M$ является серединой отрезка $AB$, так как отрезки $MA$ и $MB$ равны как радиусы одной окружности ($MA = MB = r$).

2. Из точек $A$ и $B$ как из центров провести две дуги одинакового радиуса $R$. Радиус $R$ должен быть больше половины длины отрезка $AB$ (то есть, $R > r$), чтобы дуги пересеклись. Эти дуги пересекутся в двух точках, по одной с каждой стороны от прямой $a$. Выберем любую из этих точек пересечения и обозначим её $C$.

3. С помощью линейки соединить точку $C$ и исходную точку $M$. Прямая $MC$ является искомой прямой.

Объяснение:

Построенная прямая $MC$ проходит через заданную точку $M$. Точка $C$ равноудалена от точек $A$ и $B$ ($AC = BC = R$), так как мы использовали одинаковый радиус для построения дуг. Точка $M$ также равноудалена от $A$ и $B$ ($AM = BM = r$). Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть его серединный перпендикуляр. Следовательно, прямая, проходящая через точки $M$ и $C$, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. А так как отрезок $AB$ лежит на прямой $a$, то прямая $MC$ перпендикулярна прямой $a$. Таким образом, прямая $MC$ — это и есть искомая прямая, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная прямой $a$.

Ответ: Искомая прямая строится как серединный перпендикуляр к отрезку на данной прямой, для которого данная точка является серединой. Алгоритм состоит из трех шагов: 1) из данной точки $M$ на прямой $a$ циркулем откладываются два равных отрезка $MA$ и $MB$; 2) из точек $A$ и $B$ проводятся две пересекающиеся дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем $AM$); 3) через точку их пересечения $C$ и данную точку $M$ проводится искомая прямая.