Номер 15, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Вопросы к главе 2 - номер 15, страница 48.

Условие.

15 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы (третий признак равенства треугольников)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

То есть, если для треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ выполняются равенства $ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $ и $ AC = A_1C_1 $, то $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство

Дано: $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, у которых $ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $ и $ AC = A_1C_1 $.

Доказать: $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Приложим треугольник $ \triangle ABC $ к треугольнику $ \triangle A_1B_1C_1 $ так, чтобы вершина $ A $ совпала с вершиной $ A_1 $, сторона $ AB $ наложилась на сторону $ A_1B_1 $. Поскольку $ AB = A_1B_1 $, то вершина $ B $ совпадет с вершиной $ B_1 $. Разместим треугольники так, чтобы вершины $ C $ и $ C_1 $ оказались в разных полуплоскостях относительно прямой $ A_1B_1 $.

Соединим вершины $ C $ и $ C_1 $ отрезком. Рассмотрим два треугольника, которые при этом образовались: $ \triangle A_1CC_1 $ и $ \triangle B_1CC_1 $.

1. По условию $ AC = A_1C_1 $. После наложения сторона $ AC $ стала стороной $ A_1C $. Таким образом, $ A_1C = A_1C_1 $. Это означает, что треугольник $ \triangle A_1CC_1 $ является равнобедренным с основанием $ CC_1 $. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $ \angle A_1CC_1 = \angle A_1C_1C $.
2. Аналогично, по условию $ BC = B_1C_1 $. После наложения сторона $ BC $ стала стороной $ B_1C $. Таким образом, $ B_1C = B_1C_1 $. Это означает, что треугольник $ \triangle B_1CC_1 $ также является равнобедренным с основанием $ CC_1 $. Следовательно, углы при его основании тоже равны: $ \angle B_1CC_1 = \angle B_1C_1C $.

Теперь мы можем найти углы $ \angle C $ и $ \angle C_1 $ исходных треугольников. Угол $ \angle C $ треугольника $ \triangle ABC $ (в нашем построении это $ \angle A_1CB_1 $) равен сумме углов $ \angle A_1CC_1 $ и $ \angle B_1CC_1 $. Угол $ \angle C_1 $ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $ равен сумме углов $ \angle A_1C_1C $ и $ \angle B_1C_1C $.

Так как $ \angle A_1CC_1 = \angle A_1C_1C $ и $ \angle B_1CC_1 = \angle B_1C_1C $, то и их суммы равны:

$ \angle A_1CC_1 + \angle B_1CC_1 = \angle A_1C_1C + \angle B_1C_1C $

Отсюда следует, что $ \angle A_1CB_1 = \angle A_1C_1B_1 $, а значит, $ \angle C = \angle C_1 $.

Таким образом, мы имеем, что в треугольниках $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $:

• $ AC = A_1C_1 $ (по условию)
• $ BC = B_1C_1 $ (по условию)
• $ \angle C = \angle C_1 $ (как доказано выше)

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $. Теорема доказана.

Ответ: Теорема (третий признак равенства треугольников) гласит: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.