Номер 12, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Вопросы к главе 2 - номер 12, страница 48.

Условие.

12 Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Дано:

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Доказать:

Необходимо доказать, что углы при основании этого треугольника равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

Доказательство:

Проведем биссектрису $BD$ из вершины $B$ к основанию $AC$. Эта биссектриса делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABD = \angle CBD$.

Рассмотрим два треугольника, которые образовались в результате этого построения: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Сравним эти два треугольника по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

- $AB = BC$ (по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный).

- $BD$ — общая сторона для обоих треугольников.

- $\angle ABD = \angle CBD$ (по построению, так как $BD$ — биссектриса).

Поскольку две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ABD$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle CBD$, то эти треугольники равны: $\triangle ABD = \triangle CBD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны углы, лежащие против равных сторон. Углы $\angle BAD$ и $\angle BCD$ лежат напротив общей стороны $BD$. Следовательно, $\angle BAD = \angle BCD$.

Так как $\angle BAD$ — это тот же угол, что и $\angle BAC$, а $\angle BCD$ — это тот же угол, что и $\angle BCA$, мы заключаем, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Таким образом, мы доказали, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.