Номер 19, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Вопросы к главе 2 - номер 19, страница 49.

Условие.

19 Объясните, как построить биссектрису данного угла.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Для построения биссектрисы данного угла с помощью циркуля и линейки (без делений) необходимо выполнить следующие шаги.

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$.

1. Устанавливаем острие циркуля в вершину угла $O$ и проводим дугу произвольного радиуса $R$. Эта дуга пересечет стороны угла в двух точках. Обозначим эти точки как $A$ и $B$. Таким образом, мы получили два отрезка $OA$ и $OB$, которые равны между собой как радиусы одной окружности: $OA = OB = R$.

2. Теперь из точек $A$ и $B$ как из центров проводим две дуги одинакового радиуса $r$. Радиус $r$ можно взять любым, но он должен быть достаточным для того, чтобы дуги пересеклись внутри угла. Удобно взять тот же радиус $R$, что и на первом шаге, или любой другой, но обязательно одинаковый для обеих дуг. Точку пересечения этих дуг обозначим $C$.

3. С помощью линейки соединяем вершину угла $O$ с точкой пересечения дуг $C$. Полученный луч $OC$ и будет являться биссектрисой исходного угла.

Докажем, что построенный луч $OC$ действительно является биссектрисой. Для этого соединим точки $A$ и $C$, а также $B$ и $C$ отрезками и рассмотрим получившиеся треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$.

В этих треугольниках:

- сторона $OA$ равна стороне $OB$ по построению (как радиусы первой окружности, проведенной из центра $O$);

- сторона $AC$ равна стороне $BC$ по построению (так как дуги, при пересечении которых получилась точка $C$, проводились одинаковым радиусом $r$ из центров $A$ и $B$ соответственно);

- сторона $OC$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов. В частности, угол $\angle AOC$ равен углу $\angle BOC$. А это по определению означает, что луч $OC$ является биссектрисой угла $\angle AOB$.

Ответ: Для построения биссектрисы данного угла необходимо с помощью циркуля провести из вершины угла дугу, пересекающую его стороны в двух точках, а затем из этих двух точек провести еще две дуги одинакового радиуса внутри угла до их пересечения. Луч, соединяющий вершину угла с точкой пересечения этих дуг, является биссектрисой.