Номер 159, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 159, страница 49.

Условие.

159 Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$.

По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны. Следовательно, в $\triangle ABC$ стороны $AB = BC$, а в $\triangle A_1B_1C_1$ стороны $A_1B_1 = B_1C_1$. Угол, противолежащий основанию (угол при вершине) в первом треугольнике — это $\angle B$, а во втором — $\angle B_1$.

Согласно условию задачи, боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника. Запишем это формально:
1. $AB = A_1B_1$
2. $\angle B = \angle B_1$

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Рассмотрим элементы треугольников:
- Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ по условию.
- Так как $\triangle ABC$ — равнобедренный, то $BC = AB$. Так как $\triangle A_1B_1C_1$ — равнобедренный, то $B_1C_1 = A_1B_1$. Поскольку по условию $AB = A_1B_1$, то отсюда следует, что и $BC = B_1C_1$.
- Угол $\angle B$ в $\triangle ABC$ заключен между сторонами $AB$ и $BC$. Угол $\angle B_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$ заключен между сторонами $A_1B_1$ и $B_1C_1$. По условию, $\angle B = \angle B_1$.

Таким образом, две стороны ($AB$ и $BC$) и угол между ними ($\angle B$) треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны двум сторонам ($A_1B_1$ и $B_1C_1$) и углу между ними ($\angle B_1$) треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Два равнобедренных треугольника равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Равенство боковых сторон ($AB = BC$ и $A_1B_1 = B_1C_1$) следует из определения равнобедренного треугольника. Из условия, что одна боковая сторона первого треугольника равна боковой стороне второго ($AB = A_1B_1$), вытекает, что все боковые стороны равны ($AB = BC = A_1B_1 = B_1C_1$). Углы между этими боковыми сторонами также равны по условию ($\angle B = \angle B_1$). Таким образом, условия первого признака равенства треугольников выполняются.