Номер 163, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 163, страница 49.

Условие.

163 Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны: $AB = BC$. Основанием является сторона $AC$.

Обозначим точки $D$, $E$ и $F$ как середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Эти три точки образуют новый треугольник $DEF$. Нам нужно доказать, что треугольник $DEF$ является равнобедренным.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.

1. Рассмотрим отрезок $DF$. Он соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $DF$ — средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии, её длина равна половине длины третьей стороны, то есть $DF = \frac{1}{2}BC$.
2. Рассмотрим отрезок $EF$. Он соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Следовательно, $EF$ — также средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $EF = \frac{1}{2}AB$.

Из условия задачи мы знаем, что треугольник $ABC$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Сравним длины сторон $DF$ и $EF$ треугольника $DEF$:

$DF = \frac{1}{2}BC$

$EF = \frac{1}{2}AB$

Поскольку $AB = BC$, то и половины этих сторон равны, то есть $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC$. Отсюда следует, что $DF = EF$.

Так как в треугольнике $DEF$ две стороны ($DF$ и $EF$) равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник, вершинами которого являются середины сторон равнобедренного треугольника, также является равнобедренным, так как две его стороны равны как половины равных боковых сторон исходного треугольника.