Номер 162, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 162, страница 49.

Условие.

162 На рисунке 92 треугольник ADE равнобедренный, $DE$ — основание. Докажите, что:

а) если $BD=CE$, то $\angle CAD = \angle BAE$ и $AB=AC$;

б) если $\angle CAD = \angle BAE$, то $BD=CE$ и $AB=AC$.

Рис. 92

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку по условию задачи треугольник $ADE$ является равнобедренным с основанием $DE$, то его боковые стороны равны ($AD = AE$), а углы при основании также равны ($\angle ADE = \angle AED$, или для краткости $\angle D = \angle E$).

а) если BD=CE, то ∠CAD=∠BAE и AB=AC

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$. В них есть следующие равные элементы:

1. $AD = AE$ (как боковые стороны равнобедренного треугольника $ADE$).
2. $BD = CE$ (согласно условию данного пункта).
3. $\angle D = \angle E$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $ADE$).

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Следовательно, $AB = AC$ (как соответствующие стороны) и $\angle BAD = \angle CAE$ (как соответствующие углы).

Теперь докажем равенство углов $\angle CAD$ и $\angle BAE$. Угол $\angle CAD$ можно представить в виде суммы углов: $\angle CAD = \angle CAB + \angle BAD$. Аналогично, угол $\angle BAE$ можно представить как $\angle BAE = \angle CAB + \angle CAE$. Так как мы уже доказали, что $\angle BAD = \angle CAE$, и $\angle CAB$ является общей частью для обоих выражений, то отсюда следует, что $\angle CAD = \angle BAE$.

Таким образом, все утверждения пункта а) доказаны.

Ответ: Утверждение доказано.

б) если ∠CAD=∠BAE, то BD=CE и AB=AC

По условию данного пункта $\angle CAD = \angle BAE$. Разложим эти углы на составляющие: $\angle CAD = \angle CAB + \angle BAD$ и $\angle BAE = \angle CAB + \angle CAE$. Приравнивая правые части, получаем: $\angle CAB + \angle BAD = \angle CAB + \angle CAE$. Вычитая из обеих частей равенства общий угол $\angle CAB$, получаем, что $\angle BAD = \angle CAE$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$. В них есть следующие равные элементы:

1. $\angle D = \angle E$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $ADE$).
2. $AD = AE$ (как боковые стороны равнобедренного треугольника $ADE$).
3. $\angle BAD = \angle CAE$ (как было доказано выше).

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, $BD = CE$ и $AB = AC$.

Таким образом, все утверждения пункта б) доказаны.

Ответ: Утверждение доказано.