Номер 164, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 164, страница 51.

Условие.

164. На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $AD$, $BE$ и $CF$, как показано на рисунке 93. Точки $D$, $E$, $F$ соединены отрезками. Докажите, что треугольник $DEF$ — равносторонний.

Рис. 93

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы доказать, что треугольник $DEF$ является равносторонним, нам необходимо установить, что все его стороны имеют одинаковую длину, то есть $DE = EF = FD$. Мы можем доказать это, показав, что три "угловых" треугольника $\triangle ADF$, $\triangle BED$ и $\triangle CFE$ равны между собой.

Доказательство:

1. Рассмотрим исходный треугольник $ABC$. По условию он равносторонний. Это означает, что все его стороны равны и все углы равны $60^\circ$:
$AB = BC = CA$
$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$

2. По условию задачи, на сторонах треугольника $ABC$ отложены равные отрезки:
$AD = BE = CF$

3. Теперь найдем длины отрезков $AF$, $BD$ и $CE$. Каждый из этих отрезков является частью стороны треугольника $ABC$:
$AF = AC - CF$
$BD = AB - AD$
$CE = BC - BE$
Поскольку $AC = AB = BC$ (из п.1) и $CF = AD = BE$ (из п.2), то мы вычитаем равные величины из равных величин. Следовательно, полученные отрезки также равны между собой:
$AF = BD = CE$

4. Теперь сравним треугольники $\triangle ADF$, $\triangle BED$ и $\triangle CFE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
- Сторона $AD$ ($\triangle ADF$) = Сторона $BE$ ($\triangle BED$) = Сторона $CF$ ($\triangle CFE$) по условию.
- Сторона $AF$ ($\triangle ADF$) = Сторона $BD$ ($\triangle BED$) = Сторона $CE$ ($\triangle CFE$) как было доказано в п.3.
- Угол $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$ как углы равностороннего треугольника $ABC$.
Следовательно, треугольники равны: $\triangle ADF = \triangle BED = \triangle CFE$.

5. Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. Стороны $DF$, $DE$ и $EF$ лежат напротив равных углов $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$ соответственно, поэтому они равны:
$DF = DE = EF$

Так как все стороны треугольника $DEF$ равны, он является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник $DEF$ является равносторонним. Доказательство основано на равенстве треугольников $\triangle ADF$, $\triangle BED$ и $\triangle CFE$ по первому признаку (две стороны и угол между ними). Равенство элементов этих треугольников следует из условий задачи: $AD=BE=CF$ (по условию), $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$ (так как $\triangle ABC$ равносторонний), и $AF=BD=CE$ (как разности равных сторон $AC, AB, BC$ и равных отрезков $CF, AD, BE$). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон $DF=DE=EF$, что и означает, что $\triangle DEF$ — равносторонний.