Номер 165, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 165, страница 51.

Условие.

165 Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в их общей середине $O$. На отрезках $AC$ и $BD$ отмечены точки $K$ и $K_1$ так, что $AK = BK_1$. Докажите, что:

а) $OK = OK_1$;

б) точка $O$ лежит на прямой $KK_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$. По условию, точка $O$ является серединой отрезков $AB$ и $CD$. Это значит, что $AO = OB$ и $CO = OD$. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ равны как вертикальные. Следовательно, $\triangle AOC \cong \triangle BOD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $AC = BD$ и $\angle CAO = \angle DBO$. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOK$ и $\triangle BOK_1$. В них: 1. $AO = BO$ (по условию). 2. $AK = BK_1$ (по условию). 3. $\angle KAO = \angle K_1BO$ (так как это те же углы, что и $\angle CAO$ и $\angle DBO$, равенство которых мы доказали выше). Таким образом, $\triangle AOK \cong \triangle BOK_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $OK = OK_1$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Из доказанного в пункте а) равенства треугольников $\triangle AOK \cong \triangle BOK_1$ следует также равенство соответствующих углов: $\angle AOK = \angle BOK_1$. Точки $A$, $O$, $B$ лежат на одной прямой, так как $O$ — середина отрезка $AB$. Следовательно, угол $\angle AOB$ является развернутым и его величина составляет $180^\circ$. Этот угол можно представить как сумму двух смежных углов: $\angle AOK + \angle KOB = \angle AOB = 180^\circ$. Заменим в этом равенстве угол $\angle AOK$ на равный ему угол $\angle BOK_1$: $\angle BOK_1 + \angle KOB = 180^\circ$. Сумма углов $\angle BOK_1$ и $\angle KOB$ составляет угол $\angle KOK_1$. Следовательно, $\angle KOK_1 = 180^\circ$. Это означает, что угол $\angle KOK_1$ является развернутым, а точки $K$, $O$ и $K_1$ лежат на одной прямой. Таким образом, точка $O$ лежит на прямой $KK_1$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.