Номер 18, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Вопросы к главе 2 - номер 18, страница 49.

Условие.

18 Объясните, как отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Чтобы отложить от данного луча угол, равный данному, используя циркуль и линейку, необходимо выполнить следующую последовательность построений.

Пусть нам дан некоторый угол с вершиной в точке $A$ и луч $OM$.

1. Возьмем циркуль и установим произвольный, но удобный для работы раствор (радиус $r$). Проведем дугу окружности с центром в вершине $A$ данного угла так, чтобы она пересекла обе стороны угла. Обозначим точки пересечения как $B$ и $C$.

2. Не меняя раствора циркуля (сохраняя тот же радиус $r$), установим его ножку в начало данного луча — точку $O$. Проведем дугу окружности так, чтобы она пересекла луч $OM$. Точку пересечения обозначим как $D$.

3. С помощью циркуля измерим расстояние между точками $B$ и $C$ на исходном угле. Для этого установим ножку циркуля в точку $B$, а грифель — в точку $C$. Теперь раствор циркуля равен длине хорды $BC$.

4. Сохраняя полученный раствор циркуля, установим его ножку в точку $D$ на луче $OM$. Проведем новую дугу так, чтобы она пересекла дугу, построенную в шаге 2. Точку пересечения двух дуг обозначим как $E$.

5. С помощью линейки соединим точку $O$ и точку $E$, проведя луч $OE$.

В результате этих построений мы получим угол $\angle EOM$, который будет равен данному углу $\angle BAC$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$, образовавшийся на данном угле, и $\triangle ODE$, который мы построили.

В этих треугольниках стороны $AB$ и $AC$ равны радиусу $r$ по построению (шаг 1). Стороны $OD$ и $OE$ также равны радиусу $r$ по построению (шаги 2 и 4). Следовательно, $AB = AC = OD = OE = r$.

Сторона $BC$ была измерена циркулем, и на это же расстояние была построена сторона $DE$ (шаги 3 и 4). Значит, $BC = DE$.

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle ODE$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов. Следовательно, $\angle BAC = \angle EOD$.

Ответ: Для построения угла, равного данному, от заданного луча необходимо последовательно перенести с помощью циркуля и линейки стороны треугольника, образованного вершиной исходного угла и двумя точками на его сторонах, создав тем самым равный ему треугольник с вершиной в начале данного луча.