Номер 178, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 178, страница 52.

Условие.

178* Даны три точки $A$, $B$, $C$, лежащие на одной прямой, и точка $D$, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трёх отрезков $AD$, $BD$ и $CD$ не равны друг другу.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что утверждение задачи неверно. Это означает, что неверно, что "по крайней мере два из трёх отрезков $AD$, $BD$ и $CD$ не равны друг другу". Противоположное этому утверждение — это "менее двух отрезков не равны друг другу", что эквивалентно тому, что все три отрезка равны между собой.

Итак, предположим, что $AD = BD = CD$.

Пусть длина этих отрезков равна некоторому числу $R > 0$. То есть $AD = BD = CD = R$.

По определению, геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки (в данном случае от точки $D$), есть окружность с центром в этой точке. Следовательно, если точки $A$, $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии $R$ от точки $D$, то все они должны лежать на одной окружности с центром в точке $D$ и радиусом $R$.

Однако по условию задачи точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Таким образом, получается, что три различные точки $A$, $B$ и $C$ являются общими точками для некоторой прямой и некоторой окружности.

Это противоречит известной аксиоме геометрии, согласно которой прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Таким образом, неверно, что все три отрезка $AD$, $BD$ и $CD$ равны. Это означает, что по крайней мере два из этих трёх отрезков не равны друг другу, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.