Номер 182, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 182, страница 52.

Условие.

182 Даны прямая $a$, точки $A$, $B$ и отрезок $PQ$. Постройте треугольник $ABC$ так, чтобы вершина $C$ лежала на прямой $a$ и $AC = PQ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по двум вершинам $A$ и $B$, а также дополнительным условиям для третьей вершины $C$. Вершина $C$ должна одновременно удовлетворять двум требованиям:
1. Принадлежать прямой $a$.
2. Находиться на расстоянии, равном длине отрезка $PQ$, от вершины $A$. Это означает, что $AC = PQ$.

Для нахождения точки $C$ используем метод геометрических мест.
Геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих первому условию, — это сама прямая $a$.
ГМТ, удовлетворяющих второму условию, то есть всех точек, удаленных от $A$ на расстояние $PQ$, — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R = PQ$.

Искомая вершина $C$ является элементом пересечения этих двух ГМТ. Таким образом, точка $C$ — это точка пересечения прямой $a$ и окружности с центром $A$ и радиусом $R = PQ$.

Построение

Алгоритм построения выглядит следующим образом:
1. При помощи циркуля измеряем длину отрезка $PQ$.
2. Устанавливаем острие циркуля в точку $A$ и проводим окружность (или дугу окружности, достаточную для пересечения с прямой $a$) радиусом $R = PQ$.
3. Находим точку (или точки) пересечения построенной окружности и прямой $a$. Каждая такая точка является возможным положением вершины $C$.
4. Соединяем отрезками точки $A$, $B$ и одну из найденных точек $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Количество решений задачи зависит от взаимного расположения точки $A$, прямой $a$ и длины отрезка $PQ$. Обозначим расстояние от точки $A$ до прямой $a$ как $d$, а длину отрезка $PQ$ как $R$. Возможны три случая:
1. $d > R$. Окружность и прямая не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений.
2. $d = R$. Окружность касается прямой в одной точке. В этом случае задача имеет ровно одно решение.
3. $d < R$. Окружность пересекает прямую в двух различных точках. В этом случае задача имеет два решения, так как существуют два возможных положения для вершины $C$ ($C_1$ и $C_2$), что позволяет построить два треугольника: $ABC_1$ и $ABC_2$.

Ответ: Для построения треугольника $ABC$ необходимо найти вершину $C$ как точку пересечения прямой $a$ и окружности с центром в $A$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$. В зависимости от исходных данных, задача может иметь два, одно или ни одного решения.