Номер 188, страница 56 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 1. Признаки параллельности прямых - номер 188, страница 56.

Условие.

188 Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в их общей середине, которую мы обозначим точкой $O$.

По условию задачи, точка $O$ является серединой каждого из отрезков, следовательно, выполняются равенства: $AO = OB$ и $CO = OD$.

Рассмотрим два треугольника, которые образовались при пересечении отрезков: $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

Сравним эти треугольники по трём элементам:

1. $AO = OB$ (по условию, так как $O$ — середина отрезка $AB$).
2. $CO = OD$ (по условию, так как $O$ — середина отрезка $CD$).
3. $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные углы).

Таким образом, $\triangle AOC$ равен $\triangle BOD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, нас интересуют углы $\angle OAC$ и $\angle OBD$. Следовательно, $\angle OAC = \angle OBD$.

Углы $\angle OAC$ (он же $\angle CAB$) и $\angle OBD$ (он же $\angle DBA$) являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $AC$ и $BD$ секущей $AB$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Поскольку мы доказали, что $\angle OAC = \angle OBD$, мы можем сделать вывод, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые $AC$ и $BD$ параллельны.