Номер 183, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 183, страница 52.

Условие.

183 Даны окружность, точки $A$, $B$ и отрезок $PQ$. Постройте треугольник $ABC$ так, чтобы вершина $C$ лежала на данной окружности и $AC = PQ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения данной задачи на построение воспользуемся методом геометрических мест точек (ГМТ). Искомая вершина $C$ треугольника $ABC$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Точка $C$ должна лежать на данной окружности.
2. Расстояние от точки $A$ до точки $C$ должно быть равно длине отрезка $PQ$, то есть $AC = PQ$.

Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, — это сама данная окружность.

Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию (то есть равноудалённых от точки $A$ на расстояние, равное $PQ$), — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $r = PQ$.

Следовательно, искомая точка (или точки) $C$ является точкой пересечения этих двух окружностей: данной по условию и построенной нами.

Построение

1. С помощью циркуля измеряем длину отрезка $PQ$. Для этого устанавливаем иглу циркуля в точку $P$, а грифель — в точку $Q$.
2. Не меняя раствора циркуля, строим вспомогательную окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$.
3. Находим точки пересечения построенной вспомогательной окружности с данной в условии окружностью. Эти точки пересечения и являются возможными положениями для вершины $C$.
4. Если точки пересечения существуют, выбираем одну из них в качестве вершины $C$ и соединяем отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Пусть точка $C$ получена в результате описанного выше построения. По построению, точка $C$ принадлежит данной окружности, так как является точкой ее пересечения со вспомогательной окружностью. Также, по построению, точка $C$ принадлежит вспомогательной окружности с центром в $A$ и радиусом $PQ$, следовательно, расстояние $AC$ равно $PQ$. Оба условия задачи выполнены, значит, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Количество решений задачи зависит от количества точек пересечения двух окружностей: данной (назовем ее $\omega$, пусть ее центр — точка $O$, а радиус — $R$) и построенной вспомогательной окружности (назовем ее $\omega_A$, ее центр — $A$, радиус — $r=PQ$).

• Два решения: если окружности $\omega$ и $\omega_A$ пересекаются в двух различных точках. Это возможно, когда расстояние между их центрами $OA$ удовлетворяет строгому неравенству $|R - r| < OA < R + r$. В этом случае существуют две точки $C_1$ и $C_2$, и можно построить два искомых треугольника $ABC_1$ и $ABC_2$.
• Одно решение: если окружности $\omega$ и $\omega_A$ касаются в одной точке. Это происходит, когда $OA = R + r$ (внешнее касание) или $OA = |R - r|$ (внутреннее касание). В этом случае существует только одна подходящая точка $C$ и один треугольник.
• Нет решений: если окружности $\omega$ и $\omega_A$ не имеют общих точек. Это происходит, когда $OA > R + r$ (окружности находятся одна вне другой) или $OA < |R - r|$ (одна окружность полностью внутри другой, не касаясь). В этом случае построить требуемый треугольник невозможно.
• Бесконечно много решений: этот случай возникает, если окружности совпадают. Это возможно, только если точка $A$ является центром данной окружности ($A$ совпадает с $O$) и длина отрезка $PQ$ равна радиусу данной окружности ($r=R$). Тогда любая точка на данной окружности может быть выбрана в качестве вершины $C$.

Ответ: Для построения треугольника необходимо найти вершину $C$ как точку пересечения двух окружностей: данной по условию и окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$. После нахождения точки $C$ следует соединить ее с точками $A$ и $B$. В зависимости от взаимного расположения исходных данных, задача может иметь два, одно, бесконечно много или ни одного решения.